Detalhes da Questão

Gerada em 12/01/2026 às 13:36

Metadados

Disciplina

Matemática

Código BNCC

EM13MAT404

Dificuldade

Difícil

Status

Aprovada

Tema

Seno e cosseno

Conteúdo da Questão

Enunciado

Um engenheiro está projetando um sistema de monitoramento para uma torre de telecomunicações de 100 metros de altura. Para otimizar a cobertura do sinal, ele precisa posicionar um sensor em um ponto P no solo, de modo que o ângulo de elevação do sensor até o topo da torre seja θ. Além disso, ele quer que a distância horizontal do sensor até a base da torre (d) seja tal que a soma do seno de θ com o cosseno de θ resulte no valor máximo possível. Considerando que o sensor é instalado a uma altura desprezível do solo e que a torre é perfeitamente vertical, qual é a distância horizontal d, em metros, que o engenheiro deve utilizar?

Alternativas

100

100√2

50√3

Resolução Comentada

Para resolver este problema, precisamos primeiro encontrar o ângulo θ que maximiza a expressão sen(θ) + cos(θ). Podemos reescrever essa expressão usando a fórmula de adição de ângulos: a sen(x) + b cos(x) = R sen(x + α), onde R = √(a² + b²). Neste caso, a = 1 e b = 1. Então, R = √(1² + 1²) = √2. A expressão se torna √2 sen(θ + α). Para encontrar α, temos cos(α) = a/R = 1/√2 e sen(α) = b/R = 1/√2. Isso implica que α = π/4 ou 45°. Assim, sen(θ) + cos(θ) = √2 sen(θ + π/4). O valor máximo da função seno é 1. Portanto, o valor máximo de √2 sen(θ + π/4) é √2 * 1 = √2. Isso ocorre quando sen(θ + π/4) = 1. Para que sen(θ + π/4) = 1, o ângulo (θ + π/4) deve ser π/2 (ou 90°) mais móltiplos de 2π. Considerando que θ é um ângulo de elevação em um triângulo retângulo, ele deve estar entre 0° e 90°. Então, θ + π/4 = π/2. θ = π/2 - π/4 = π/4. Ou seja, θ = 45°. Agora, precisamos encontrar a distância horizontal d. Temos um triângulo retângulo formado pela torre, o solo e a linha de visada do sensor ao topo da torre. A altura da torre é 100 metros, e o ângulo de elevação é θ = 45°. A relação trigonométrica que conecta a altura (cateto oposto), a distância horizontal (cateto adjacente) e o ângulo é a tangente: tan(θ) = (altura da torre) / d tan(45°) = 100 / d Sabemos que tan(45°) = 1. 1 = 100 / d d = 100 metros. Portanto, a distância horizontal que o engenheiro deve utilizar é 100 metros.

Validação Pedagógica

Scores automáticos gerados pelo sistema de IA

Score Geral

91/100

Excelente

Acurácia

A questão apresenta um problema de otimização envolvendo trigonometria. A altura da torre é 100m. A distância horizontal é 'd'. O ângulo de elevação é θ. A relação é tan(θ) = 100/d. A função a ser maximizada é f(θ) = sen(θ) + cos(θ). Para maximizar sen(θ) + cos(θ), podemos usar a identidade R*sin(θ+α) onde R = sqrt(1^2+1^2) = sqrt(2) e tan(α)=1, então α=π/4 (ou 45 graus). Assim, sen(θ) + cos(θ) = sqrt(2) * sen(θ + π/4). O valor máximo ocorre quando sen(θ + π/4) = 1, ou seja, quando θ + π/4 = π/2, o que implica θ = π/4 (ou 45 graus). Para θ = 45 graus, tan(45) = 1. Portanto, 100/d = 1, o que resulta em d = 100 metros. A alternativa correta é a B. Os distratores são plausíveis, pois 50 é metade da altura, 100√2 é um valor comum em problemas de triângulos retângulos isósceles (diagonal de um quadrado de lado 100), e 50√3 também é um valor associado a triângulos notáveis. A questão está factualmente correta e a solução é consistente. Uma pequena ressalva é que o problema não especifica o domínio de θ, mas subentende-se que é (0, π/2).

Alinhamento BNCC

O código BNCC EM13MAT404 refere-se a 'Resolver e elaborar problemas que envolvam grandezas de diferentes naturezas, utilizando a linguagem algébrica, trigonométrica e geométrica, com ou sem o apoio de tecnologias digitais'. A questão aborda um problema que envolve grandezas (distância, altura, ângulo), utiliza a linguagem trigonométrica (seno, cosseno, tangente) e geométrica (triângulo retângulo), e exige a resolução de um problema de otimização. Portanto, está bem alinhada com a habilidade proposta pela BNCC. O nível 'difícil' é apropriado para a complexidade da otimização trigonométrica.

Qualidade

O enunciado é claro e conciso, apresentando todas as informações necessárias para a resolução do problema. A contextualização com um engenheiro e uma torre de telecomunicações é pertinente e torna a questão mais engajadora. A formulação 'soma do seno de θ com o cosseno de θ resulte no valor máximo possível' é bem específica e direciona o aluno para a otimização. As alternativas são bem construídas e os distratores são plausíveis, como mencionado na justificativa de acurácia, o que exige do estudante um conhecimento sólido para chegar à resposta correta e não ser induzido ao erro por respostas 'próximas' ou intuitivas. A linguagem é adequada para o nível de ensino médio.